区域联合教研推动学科教学研究深入开展
——以初中数学实际问题教学研究为例
作者:■ 东丽区教师进修学校 贯忠喜 河东区教育中心 陈 健
发布时间:2017/6/19 17:11:25 已经阅读77次

“实际问题教学”始终是教师在教学中的一个难点,也是学生学习的难点,但是在学生学业水平的考查中,“实际问题”却是处于中等难度的考察范围。由此不免引发了一些思考,一是学生学习实际问题的难点究竟在哪里,二是教师在实际问题教学中如何设计才能帮助学生突破这一难点。

从笔者先后听过的“实际问题与一次函数”“实际问题与一元二次方程”“实际问题与二次函数”等课堂教学来看,教师用了很多办法强化教学,但是收效甚微。学生的学习成效基本呈现三种情形:

一是学生可以自行解决“实际问题”,而老师的后续讲解基本是重复一遍学生的正确解答过程,没有为学生创造归纳提升的空间,学生对于“实际问题”的解决全凭个人感觉;二是学生跟着老师分析,能够建立起数学模型,并进一步完成后续的解答过程,但是在建立数学模型的过程中没有形成经验,换了其他实际问题仍然无从下手;三是学生跟着老师的分析不能建立起数学模型,呈现不理解的状态,以致无法完成后续解答。此时作为教师,解决的方法一般有两种方式,一是重复分析过程,二是放弃这样的学生。

教师对“实际问题”的处理方式,一般是引导学生一步步根据老师的问题来思考,以串联方式建立起数学模型,进而梳理出解决实际问题的方法(实质为步骤并不是思考的方法)。

显然这样的教学方式,学生即使经过再多的练习也很难学会实际问题的解决。

看到教学中存在的这个问题,东丽教师进修学校数学室联合河东区教育中心数学室共同围绕“如何解决实际问题的教学”开展了一系列的主题研讨课活动,具体活动包括三个阶段:初联合——渐深入——再思考。在每一次的联合教研中,对“实际问题教学”的研究都有不同深度的进展。

近两年共研讨了三次。这三次研讨的重点围绕“实际问题与方程”“实际问题与不等式”“实际问题与函数”三个领域开展。经过研讨交流,大家逐渐形成共识:实际问题教学应该包含以下的四个教学环节。

第一环节:课前交流——温故辅新

通常实际问题建模后要用到前面学过的数学知识,因此在解决实际问题前要回顾学习过的相关内容。这部分内容有两方面的作用,一方面是帮助学生梳理前面学过的内容,回忆与新知相关的知识与方法;另一方面是为学生解决后续所遇思维的难点进行铺垫。通常选择一两个比较基本的具体问题。

实际问题教学所涉及的题目应做到两点,一是从简单问题出发,帮助学生建立相应的实际问题模型;二是选择与后续要解决的实际问题同类型的数学问题,帮助学生在回忆相应知识的基础上,在建模后能够顺利应用所学知识与方法加以解决。

实际问题与二次函数的学习需要经历两个步骤,第一个步骤是根据实际问题建立起二次函数的模型,第二个步骤是利用该二次函数的最值解决实际问题。因此将二次函数的求最值作为课前交流。

例如,面积问题与利润问题都可用指定范围的二次函数求最值问题做铺垫。

在利润问题的基础扫描中有两个值得关注的点,一是没有用一般的二次函数形式回忆求最值的公式,而是选用了与后续实际问题中需要用到的首项系数小于零的二次函数;二是选用的具体函数解析式的形式与实际问题建立的二次函数相比,其首项只是用到了系数为的情况。这样的问题一方面是帮助学生回忆对二次求最值的解决方法,另一方面在后续的实际问题中恰好要解决此类问题,在此起到温故辅新的作用。

第二环节:学习引导——点石成金

在实际问题与二次函数的学习中,学生最大的难点就是如何建立起二次函数数学模型,这里强调的是“如何建立”,也就是建模的难点在于“建”的过程。从实际问题与二次函数这个标题分析,可以看出这里实质包含着两层模型,一个是实际问题的模型,另一个是二次函数的模型,因此要建立起解决实际问题的二次函数模型需要两个模型和一个转化,即先建立起一个实际模型,通过用符号表示,转化为一个数学模型。定位好了解决这类问题的难点,接下来就是如何围绕这个难点展开教学,达成目标。

授之以鱼不如授之以渔,更要授之以欲,因此在教学过程中要促使学生思考。这样,教师所给出问题的呈现方式就显得尤为重要。

从教师驾驭的能力和数学内容本身的难易来考虑,可以采取“冰壶策略”和“导航策略”。所谓“冰壶策略”,即将问题直接抛给学生,不给学生既定的达成目标,让学生根据自己的理解来解决,在学生解决的过程中,教师不过渡、不引导、给时间、不打扰,经过学生的充分活动,教师通过一系列的追问,帮助学生梳理出问题的特点、解决策略、解答步骤、内涵的方法与思想等。例如,面积问题的教学过程,老师采用的就是“冰壶策略”。通过追问梳理,归纳出解决此类问题的思考路径以及操作方法,如下图

这种方式适合背景比较简单,学生容易解决的问题。这一方式的最大优势是可以让学生放开思想,充分思考,进而对学后提炼出的解决方法能够理解透彻。但此种方式也存在一个弊端,由于没有在最初规范学生思考问题的方式,容易使学生的思考处于无序状态;且由于问题简单,对后续提炼的方法也不容易引起学生的注意,遇到稍微复杂的问题时,学生可能会仍然按照自己的思维习惯思考,而没有借鉴解决容易题时提炼的思考方式;也可能受到先入为主的影响,习惯性地延续自己的解题经验。

“导航策略”,是针对几个关键的思考难点设置相应的分解问题,由于此类问题学生易于解决,所以学生在各个击破的过程中,能够达到拾级而上的效果。例如,在最大利润问题的教学过程中,老师采用的就是“导航策略”。经过学生独立思考,同伴讨论,小组展示,最终确定解决此类问题的难点以及突破的方式。

这种方式适合问题本身较为复杂,学生对此类问题的解决没有经验,独立完成难度大的情况。这一方式的优势在于给出了问题的关键节点,学生在逐一解决的过程中,自然而然就达到学习目标,能帮助学生建立一个思考问题的基本方式,形成解题经验,在后续遇到的实际问题中,可以有章可循,但其劣势是限制了学生的思维。

任何一种方式的选择都要依据利于学生思考与学习的原则,准确定位难点。如何准确定位难点?首先从难点开始解读。数学主要涉及知识、方法和思想,知识与方法的学习通常包括了解、理解、掌握三个层次的要求。而这三个层次的要求无疑都是从思维角度出发,因此数学思想的建立是教学中真正的难点,而突破难点的根本就是抓住知识背后的数学思想引领下的方法的运用。

在前面分析的面积与利润问题的教学中,老师的教学内容以及采用的方式虽然不同,但是最都归纳出共同的数学思想与方法,即模型思想与转化方法。

第三环节:操作演练——琢玉成器

任何一个问题的解决都需要有一个从怎么想到怎么做的过程,而具体操作一定要有一个规范的程序。这也恰恰是例题的重要作用。

在实际问题教学中,例题要解决的在于“怎么想”,重点则是操作步骤,也就是把想法能够清晰地表达出来。因此例题的教学最终要归纳出一个完整的解答程序,这样才能使后续练习的巩固与强化有一个坚实的基础。

根据题目难易,例题的难点与重点可以采取整体击破的方式,如面积问题的解决是在学生整体思考解决后,同步归纳出“怎么想”与“怎么做”;也可以采取各个击破的方式,如利润问题的解决,先解决二次函数的建立,而后归纳操作步骤。

这两种方式均在学生完成的基础上,进行归纳,统一操作步骤。这也正是教师在学生做的基础上要帮助学生进一步提升的地方。

通过一个问题的解决就形成一整套解决问题的想法和方法是不可能的,因此必然要有相应的变式练习,变式又怎么变?练习又练什么?对于新授课,学生刚刚接受一个新知识、新方法,是不可能立即就达到熟练应用的程度的,因此变式应该是循序渐进的,从照猫画猫开始。

从研讨的结果来看,就面积问题教学和利润问题教学而言,大家认为有两种比较好的做法:一是发散式练习,即根据学生对面积问题较为熟悉这一特点,抓住问题的本质,对图形进行较大的改造,以此提升学生对面积问题解决的能力;二是发展式练习,即根据学生对利润问题较为陌生这一特点,抓住问题的规律性特征,对利润问题进行模式化改造,以此帮助学生掌握利润问题的解决规律。

第四环节:小结反思——回眸凝望

数学强调的不是一个问题一个问题地解决,而是重在一类问题一类问题地解决。在寻求一类问题的解决过程中,需要提供解决一类问题的方法,进而把一类问题的解决变成一个问题加以解决。

实际问题的特点是背景丰富多彩,显然不能依据问题的出处进行归类,那么实际问题的教学要找寻解决此类问题的过程性的规律,由此形成实际问题的教学模式。通常的实际问题教学惯用“设、列、求、解、答”进行总结,但是这给出的只是解答过程的一个步骤性归纳,更重要的是要给出思考的路径。

例如,可这样引导学生思考:

1.解决这个问题的实际模型是什么?

2. 解决这个问题的数学模型是什么?

3.我们如何实现转化?

4.解决问题的步骤是什么?

可以这样引导学生归纳总结:

1.利用二次函数解决哪一类问题?

2.解决问题的方法是什么?

3.求最大利润问题的一般步骤是什么?需要注意什么?

在区域联合教研过程中,我们本着“手拉手同唱一首歌”的想法,一个人提出对某一个教学问题的想法,大家共同协商后下就会形成一个系列的教研活动,开展多种形式的主题教研,实践证明这确实是一种有效的教研形式。

(责任编辑:曹 媛)